مؤامرة نيكويست: الرسم البياني ، والاستقرار ، أمثلة على المشاكل وتطبيقاتها

تعد مؤامرة Bode و Nyquist مؤامرات شائعة جدًا ، خاصةً بالنسبة لمطياف المعاوقة الكهروكيميائية أو بيانات EIS بين علماء الكيمياء الكهربائية. لذلك ، تم تسمية Nyquist Plot على اسم أمريكي سويدي وهو 'Harry Nyquist'. إنه مهندس كهربائي وقام بتطوير هذه القطعة للأغراض الإلكترونية في عام 1932. خلال EIS ، تم جمع الكثير من المعلومات ويجب تقديم هذه المعلومات التي تم جمعها. إذن ، الصورة تعطي معلومات أكثر من مائة كلمة. لذلك يتم استخدام تمثيل رسومي مثل مخطط نيكويست لإظهار التحليل الطيفي للمقاومة الكهروكيميائية. توفر هذه المقالة معلومات عن مؤامرة نيكويست - العمل ومميزاته وعيوبه.

تعريف مؤامرة نيكويست

يُعرف التمثيل الرسومي الذي يستخدم على نطاق واسع لوظائف النقل باسم مؤامرة نيكويست. هذا مخطط استجابة تردد يستخدم لتقييم نظام التحكم باستقرار التغذية الراجعة. إنه مخطط حدودي للجزء الحقيقي والخيالي لوظيفة النقل داخل المستوى المعقد لأن معلمة التردد تكتسح خلال فترة زمنية محددة. في الإحداثيات الديكارتية ، يتم رسم الجزء الحقيقي لوظيفة نقل مخطط nyquist على المحور X بينما يتم رسم الجزء التخيلي لوظيفة النقل على المحور Y.

يتم استخدام Nyquist Plot في التحكم التلقائي بالإضافة إلى معالجة الإشارات لتحليل الاستقرار لأن أي شخص يمكنه على الفور التحقق مما إذا كانت الحلقة ذات التعليقات السلبية تلبي مبدأ استقرار Nyquist. إذا كانت مؤامرة نيكويست من نظام التحكم في الحلقة المفتوحة يغطي تقريبًا النقطة الموجودة فوق المحور الحقيقي بعد ذلك يكون نظام الحلقة المغلقة المكافئ غير مستقر.

الرسم البياني لمؤامرة نيكويست

الرسوم البيانية لمؤامرة نيكويست هي امتداد للمخططات القطبية المستخدمة بشكل أساسي للعثور على أنظمة التحكم ذات الحلقة المغلقة الاستقرار ببساطة عن طريق تغيير '' من −∞ إلى ∞ ، مما يعني أن هذه المخططات تُستخدم في الغالب لرسم استجابة التردد الإجمالية لوظيفة نقل الحلقة المفتوحة. تقوم حبكة Nyquist ببساطة بتقييم استقرار نظام التحكم من خلال التعليقات. لذلك ، في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم رسم التكافؤ الحقيقي لوظيفة النقل ببساطة فوق المحور السيني بينما يتم رسم الجزء التخيلي ببساطة فوق المحور ص.
يمكن تفسير مخطط Nyquist المتشابه ببساطة بالإحداثيات القطبية ، حيث يكون كسب وظيفة النقل هو الإحداثي الشعاعي ، وطور وظيفة النقل هو الإحداثي الزاوي المكافئ.

يمكن فهم حبكة نيكويست من خلال معرفة بعض المصطلحات المستخدمة. في مؤامرة نيكويست ، يُعرف المسار المغلق داخل مستوى معقد باسم الكفاف.

مسار نيكويست

مسار Nyquist أو Nyquist Contour هو كفاف مغلق داخل مستوى s يحيط تمامًا الجانب الأيمن الكامل من المستوى s. لإحاطة إجمالي RHS للطائرة ، يتم رسم ممر نصف دائرة كبير بقطر على طول المحور 'jω' والمركز عند المصدر. يتم التعامل مع نصف قطر نصف الدائرة ببساطة على أنه تطويق نيكويست.

تطويق نيكويست

من المعروف أن النقطة محاطة بخط إذا وجدت في المنحنى.

رسم خرائط نيكويست

يُعرف الإجراء الذي يتم من خلاله تغيير نقطة داخل المستوى s إلى نقطة داخل مستوى F (s) باسم التعيين ويُعرف F (s) بوظيفة التعيين.

يعتمد تحليل ثبات نظام التحكم في التغذية المرتدة بشكل أساسي على التعرف على جذور الموقع للمعادلة المميزة فوق المستوى s.

وبالتالي ، إذا كان الجذر الموجود على المستوى s يقع على الوجه الأيسر ، فإن نظام التحكم يكون مستقرًا. لذلك ، يمكن تحديد الاستقرار النسبي للنظام من خلال تقنيات استجابة التردد المختلفة مثل مخطط نيكويست ومؤامرة بودي ومؤامرة نيكولز.

معيار استقرار نيكويست

يستخدم معيار Nyquist للاستقرار بشكل أساسي للتعرف على وجود جذور لمعادلة مميزة في المنطقة الخاصة بالطائرة S. معيار الاستقرار Nyquist مثل N = Z - P يقول ذلك ببساطة. 'N' هو العدد الإجمالي للتطويق فيما يتعلق بالأصل ، و 'P' هو عدد الأعمدة و 'Z' هو العدد الإجمالي للأصفار.

في الحالة 1: عندما N = 0 (بدون تطويق) ، وبالتالي Z = P = 0 & Z = P.

إذا كانت N = 0 ، يجب أن تكون P '0' بحيث يكون النظام مستقرًا.

في الحالة 2: عندما يكون N أكبر من 0 (تطويق في اتجاه عقارب الساعة) ، بالتالي P = 0 ، Z ≠ 0 & Z> P

في هاتين الحالتين ، يكون النظام غير مستقر.

في الحالة 3: عندما يكون N أقل من 0 (تطويق عكس اتجاه عقارب الساعة) ، وبالتالي فإن Z = 0 ، P 0 & P> Z

وبالتالي ، فإن النظام مستقر.

كيفية رسم مؤامرة نيكويست؟

هناك العديد من الخطوات المتضمنة في رسم مؤامرة nyquist التي تمت مناقشتها أدناه.

• في الخطوة 1: تحتاج إلى التحقق من الأعمدة لوظيفة نقل الحلقة المفتوحة مثل G (s) H (s) داخل مستوى 's'.
• في الخطوة 2: اختر محيط Nyquist الصحيح بتضمين الجانب الأيمن بالكامل من المستوى s ببساطة عن طريق رسم نصف دائرة نصف قطرها 'R' حيث تميل R إلى اللانهاية.
• في الخطوة 3: التعرف على الأجزاء المختلفة على المخطط التفصيلي مع الموقع لمسار نيكويست.
• في الخطوة 4: يحتاج جزء التعيين إلى الأداء خلال المقطع ببساطة عن طريق استبدال معادلة المقطع المعني في وظيفة التعيين. بشكل عام ، يتعين علينا رسم المخططات القطبية لقطاع معين.
• في الخطوة 5: بشكل عام ، يعكس تعيين المقطع صورًا لرسم الخرائط لمسار معين للمحور التخيلي الإيجابي.
• في الخطوة 6: الممر شبه الدائري الذي يغطي النصف الأيمن من المستوى يرسم عادةً نقطة داخل مستوى G (s) H (s).
• في الخطوة 7: قم بتوصيل جميع مقاطع الخرائط المختلفة للحصول على مخطط Nyquist الضروري.
• في الخطوة 8: لاحظ لا. من التطويق في اتجاه عقارب الساعة حوالي (-1 ، 0) وتحديد الاستقرار من خلال N = Z - P.

بمجرد رسم مخطط Nyquist ، يمكننا اكتشاف استقرار نظام التحكم في الحلقة المغلقة باستخدام معيار استقرار Nyquist. لذلك ، إذا كانت النقطة الحرجة (-1 + j0) تقع في الخارج من التطويق ، فإن نظام التحكم في الحلقة المغلقة يكون مستقرًا تمامًا.

وظيفة نقل الحلقة المفتوحة هي G (S) H (S) = N (S) / D (S).

وظيفة نقل الحلقة المغلقة هي G (S) / 1 + G (S) H (S).

N (s) = صفر هي الحلقة المفتوحة ، و D (s) هي عمود الحلقة المفتوحة.

من وجهة نظر الاستقرار ، لا يجب وضع أعمدة حلقة مغلقة على وجه الجانب الأيمن من المستوى s. تشير معادلة الخصائص مثل 1 + G (s) H (s) التي تساوي الصفر إلى أعمدة الحلقة المغلقة.

عندما تكون 1 + G (s) H (s) مساوية للصفر ، فإن q (s) يجب أن تكون صفراً.

لذلك ، من وجهة نظر الاستقرار ، يجب ألا تقع أصفار q (s) داخل المستوى الأيمن من المستوى s.
لوصف القوة ، يجب أخذ RHP بالكامل في الاعتبار. لذلك نتخيل نصف دائرة يتضمن جميع النقاط داخل RHP من خلال النظر في نصف قطر نصف الدائرة 'R' الذي يميل إلى اللانهاية.

تحليل الاستقرار مع Nyquist Plot

من مخطط Nyquist ، يمكننا التعرف على ما إذا كان نظام التحكم مستقرًا أو غير مستقر أو مستقرًا بشكل هامشي اعتمادًا على قيم المعلمات.

• اكتساب التردد المتقاطع وتردد عبور الطور.
• كسب الهامش وهامش المرحلة.

تردد عبور الطور.

يُطلق على التردد الذي تلتقي فيه مؤامرة نيكويست مع المحور الحقيقي السلبي اسم تردد تقاطع الطور ويُشار إليه بـ ωpc.

اكتساب عبر التردد

يُطلق على التردد الذي عنده يكون لمؤامرة نيكويست مقدارًا واحدًا اسم تردد عبور الكسب ويُشار إليه بـ ωgc.

تتم مناقشة استقرار نظام التحكم على أساس العلاقة الرئيسية بين الترددين مثل تقاطع الطور وكسب التقاطع أدناه.

• إذا كانت ωpc أعلى مقارنة بـ ωgc ، فإن نظام التحكم يكون مستقرًا.
• إذا كانت ωpc تعادل ωgc ، فإن نظام التحكم يكون مستقرًا بعض الشيء.
• إذا كانت ωpc أقل مقارنة بـ ωgc ، فإن نظام التحكم غير مستقر.

ربح هامش

هامش الربح يكافئ مقلوب حجم مؤامرة نيكويست عند تردد عبور الطور.

هامش الربح (GM) = 1 / Mpc

حيث 'Mpc' هو الحجم ضمن النطاق العادي عند ωpc أو تردد العبور الطوري

هامش المرحلة

هامش الطور يكافئ مجموع 180 درجة وزاوية الطور عند ωgc أو زيادة تردد التحويل.

PM = 1800 + gc

حيث ϕgc هي زاوية الطور عند تردد عبور الكسب (ωgc).

يعتمد استقرار نظام التحكم على العلاقة الرئيسية بين الهامشين مثل هامش الربح وهامش المرحلة الموضح أدناه.

إذا كان هامش الربح أعلى من واحد وكان هامش الطور موجبًا ، يكون نظام التحكم مستقرًا.

إذا كان هامش الربح يعادل واحد وهامش المرحلة هو '0' درجة ، فإن نظام التحكم يكون مستقرًا إلى حد ما.

إذا كان هامش الربح منخفضًا عن واحد وكان هامش الطور سالبًا ، فإن نظام التحكم غير مستقر.

مشاكل مثال مؤامرة نيكويست

المثال 1: إذا قطع مخطط نيكويست المحور الحقيقي السلبي على مسافة 0.6 ، فما هو هامش ربح النظام؟

نحن نعلم أنه يمكن تعريف هامش الربح للنظام على أنه مقدار التغيير المطلوب ضمن كسب الحلقة المفتوحة لجعل نظام الحلقة المغلقة غير مستقر

ربح الهامش أو GM = 1 / | G | wpc

حيث يكون مكسب النظام هو | G | و wpc هو تردد تقاطع الطور.

يمكن تعريف تردد تقاطع الطور على النحو التالي ؛ التردد الذي عنده يكون كسب النظام '0'.

جم = 1 / 0.6 = 1.66

المثال 2: يمكن إعطاء وظيفة نقل نظام الحلقة المفتوحة لنظام التغذية الراجعة السلبية لكسب الوحدة G (s) = 1 / S (S + 1). يتضمن منحنى Nyquist داخل المستوى S مستوى الجانب الأيمن بالكامل ومنطقة صغيرة حول الأصل على الجانب الأيسر الموضح في الرسم البياني التالي. لا. تطويق النقطة (-1+ j0) من خلال مؤامرة G (S) Nyquist ، أي ما يعادل محيط نيكويست الذي يشار إليه بـ 'N' ثم 'N' مكافئ لـ؟

لا. من التطويق للنقطة المهمة (-1+ j0) من خلال N = P-Z.

حيث 'N' هو عدد تطويق هذه النقطة الحرجة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

'P' هو عدد أعمدة الحلقة المفتوحة داخل الجانب الأيمن من المستوى S.

'Z' هو عدد أعمدة الحلقة المغلقة داخل الجانب الأيمن من المستوى S.

N = P للاستقرار Z = 0.

الصيغة المذكورة أعلاه صالحة فقط بمجرد تحديد منحنى Nyquist للجانب الأيمن من المستوى S ويتم استبعاد الأقطاب من المصدر. يجب أن يكون دوران المنحنى في اتجاه عقارب الساعة وأن يكون تطويق النقطة الحرجة في الاتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

G (s) = 1 / S (S + 1).

توجد أعمدة الحلقة المفتوحة عند S = 0 ، -1

وظيفة النقل للحلقة المغلقة = 1 / S ^ 2 + S + 1

عدد القطب المغلق في الجانب الأيمن يساوي صفرًا.

لكن محيط Nyquist محدد للنصف الإجمالي للطائرة S ويحتوي على القطب في الأصل أيضًا.

وبالتالي ، عند S = 0 ، يُعتبر قطب الحلقة المفتوحة بمثابة القطب داخل الجانب الأيمن من المستوى S.

N = P-Z => 1-0 => 1

المميزات والعيوب

ال مزايا مؤامرة نيكويست تشمل ما يلي.

• تعد حبكة Nyquist أداة مفيدة للغاية في تحديد استقرار النظام.
• لديها العديد من المزايا على Routh-Horwitz & root locus لأنها تدير ببساطة التأخير الزمني.
• ولكنه مفيد للغاية لأنه يعطينا طريقة لاستخدام مؤامرة Bode لتحديد الاستقرار.
• باستخدام هذا ، يمكن تحديد استقرار نظام التحكم.
• تم العثور على وظيفة نقل الحلقة المفتوحة عن طريق قياس استجابة التردد الخاصة بها.
• إنه أفضل مقارنة بموضع الجذر من حيث التأخير الزمني مما يعني أن مؤامرة Nyquist يمكنها ببساطة إدارة التأخير الزمني داخل النظام.
• يمكنه تحديد موقع استجابة التردد لوظيفة نقل الحلقة المفتوحة.
• يجد لا. من الأعمدة المتاحة على الوجه الأيمن للطائرة s.
• يكتشف الاستقرار النسبي للنظام /

ال عيوب مؤامرة نيكويست تشمل ما يلي.

• تستخدم مؤامرة نيكويست بعض الأساليب الرياضية الصعبة.
• لا يمكن حل القوة الكاملة للنظام.
• لا يعطي معلومات دقيقة حول الأقطاب المتاحة على الوجه الأيمن للطائرة s.

تطبيقات Nyquist Plot

تشمل تطبيقات مؤامرة نيكويست ما يلي.

• يتم استخدام مخطط Nyquist لإنشاء استقرار النظام من خلال عملية رسومية داخل مجال التردد.
• تُستخدم مؤامرة نيكويست أو مخطط استجابة التردد بشكل أساسي في هندسة التحكم ومعالجة الإشارات.
• هذه هي امتداد المخططات القطبية ، وتستخدم للعثور على استقرار نظام التحكم في الحلقة المغلقة.
• إنها أداة مفيدة للغاية في تحديد استقرار النظام.
• باستخدام مخطط Nyquist ، يمكننا مراقبة المسافة بين النقطتين (–1 ، 0) والنقطة التي يتقاطع فيها المنحنى مع المحور الحقيقي السلبي.

كيف يتم استخدام Nyquist Plot لتحديد الاستقرار؟

يمكن تحديد الاستقرار باستخدام Nyquist Plot بمجرد النظر إلى no. تطويق النقطة (1 ، 0). يمكن تحديد مجموعة المكاسب التي سيكون النظام ثابتًا عليها من خلال النظر إلى تقاطعات المحور الحقيقية. توفر هذه المؤامرة بعض البيانات المتعلقة بشكل وظيفة النقل.

ما هي معايير نيكويست لأخذ العينات؟

تحتاج معايير Nyquist إلى أن يكون تردد أخذ العينات ضعف الحد الأقصى للتردد الموجود في الإشارة. إذا كان تردد أخذ العينات منخفضًا عن ضعف أعلى تردد إشارة تناظرية ، فستحدث ظاهرة تسمى التعرّف.

ما الذي يستخدم لمؤامرة نيكويست؟

يتم استخدام وظيفة نقل الحلقة المفتوحة لـ Nyquist Plot.

ما هي قاعدة نيكويست؟

تنص قاعدة نيكويست ببساطة على أنه يجب أخذ عينات من الإشارة الدورية أعلى من ضعف الحد الأقصى لمكوِّن التردد للإشارة. في الواقع ، نظرًا لأن الوقت المتاح محدود ، فإن معدل العينة أعلى إلى حد ما مما يتطلبه.

ما هي صيغة معدل بت نيكويست للضوضاء؟

يوضح نيكويست ببساطة أنه في قناة النطاق الترددي 'B' ، يمكنك إرسال ما يصل إلى 2B من الإشارات المتعامدة لكل ثانية ، وبالتالي ، Rp ≤ 2B ، حيثما يكون 'Rp' هو معدل النبض.

ماذا تمثل حبكة نيكويست؟

تمثل مؤامرة نيكويست بعض المعلومات المتعلقة بشكل دالة النقل. لذلك ، على سبيل المثال ؛ هذه المؤامرة تعطي معلومات عن الاختلاف بين لا. عدد الأعمدة والأصفار لوظيفة النقل من خلال الزاوية التي يصل عندها المنحنى إلى نقطة الأصل.

وهكذا ، هذا هو لمحة عامة عن مؤامرة نيكويست - مزايا وعيوب وتطبيقاته. تُستخدم مخططات نيكويست لتحليل خصائص نظام التحكم مثل الاستقرار وهامش الطور وكسب الهامش. مؤامرة نيكويست باستخدام ماتلاب يساعدنا في عمل رسم بياني لمخطط نيكويست ، المرتبط باستجابة التردد المتولدة من خلال نموذج ديناميكي. إليك سؤال لك ، ما هي حبكة البود؟