ما هو توزيع فيرمي ديراك؟ مخطط نطاق الطاقة ، وتقريب بولتزمان

ما هو توزيع فيرمي ديراك؟ مخطط نطاق الطاقة ، وتقريب بولتزمان

الإلكترونات والثقوب تلعب دورًا أساسيًا في نقل الكهرباء في أشباه الموصلات . يتم ترتيب هذه الجسيمات عند مستوى طاقة مختلف في أشباه الموصلات. حركة الإلكترونات من مستوى طاقة إلى آخر يولد الكهرباء . يجب أن يمتلك الإلكترون الموجود داخل المعدن مستوى طاقة أكبر على الأقل من طاقة حاجز السطح للهروب إلى مستوى طاقة أعلى.



كان هناك العديد من الأطروحات المقترحة والمقبولة لشرح خصائص وسلوك الإلكترونات. لكن بعض سلوك الإلكترون مثل استقلالية تيار الانبعاث على درجة الحرارة وما إلى ذلك ... لا يزال لغزا. ثم إحصائيات اختراق ، إحصائيات فيرمي ديراك ، نشرت من قبل إنريكو فيرمي و بول ديراك عام 1926 ساعد في حل هذه الألغاز.


منذ ذلك الحين توزيع فيرمي ديراك يتم تطبيقه لشرح انهيار نجم إلى قزم أبيض ، لتفسير انبعاث الإلكترون الحر من معادن ، إلخ ....





توزيع فيرمي ديراك

قبل الدخول في وظيفة توزيع فيرمي ديراك دعونا نلقي نظرة على الطاقة توزيع الإلكترونات في أنواع مختلفة من أشباه الموصلات. يمكن الحصول على الطاقة القصوى للإلكترون الحر في مادة عند درجة حرارة مطلقة. عند 0 كيلو يعرف بمستوى طاقة فيرمي. تختلف قيمة طاقة فيرمي باختلاف المواد. بناءً على الطاقة التي تمتلكها الإلكترونات في أشباه الموصلات ، يتم ترتيب الإلكترونات في ثلاثة نطاقات طاقة - نطاق التوصيل ، ومستوى طاقة فيرمي ، ونطاق التكافؤ.

بينما تحتوي فرقة التوصيل على إلكترونات مُثارة ، تحتوي فرقة التكافؤ على ثقوب. ولكن ما الذي يعنيه مستوى فيرمي؟ مستوى فيرمي هو حالة الطاقة التي لديها احتمال ½ أن يشغلها إلكترون. بعبارات بسيطة ، هو الحد الأقصى لمستوى الطاقة الذي يمكن أن يمتلكه الإلكترون عند 0 كيلو واحتمال العثور على الإلكترون فوق هذا المستوى عند درجة الحرارة المطلقة هو 0. عند درجة حرارة الصفر المطلق ، سيتم ملء نصف مستوى فيرمي بالإلكترونات.



في مخطط نطاق الطاقة لأشباه الموصلات ، يقع مستوى فيرمي في منتصف نطاق التوصيل والتكافؤ لأشباه الموصلات الجوهرية. بالنسبة لأشباه الموصلات الخارجية ، يقع مستوى فيرمي بالقرب من نطاق التكافؤ نوع أشباه الموصلات ولل N- نوع أشباه الموصلات ، تقع بالقرب من نطاق التوصيل.


يُشار إلى مستوى طاقة فيرمي بواسطة يكونFو يتم الإشارة إلى نطاق التوصيل كـ يكونج ويشار إلى فرقة التكافؤ بـ E.الخامس.

مستوى فيرمي في نوعي N و P.

مستوى فيرمي في نوعي N و P.

مستوى فيرمي في أشباه الموصلات من النوع N و P.

وظيفة توزيع فيرمي ديراك

احتمالية أن يشغل الإلكترون حالة الطاقة المتاحة 'E' عند درجة حرارة مطلقة T في ظل ظروف التوازن الحراري بواسطة دالة Fermi-Dirac. من فيزياء الكم ، فإن تعبير توزيع فيرمي ديراك هو

حيث k هو ثابت بولتزمان في أوإلى ، T هي درجة الحرارة في 0إلى و يكونF هو مستوى طاقة فيرمي في eV.k = 1.38X10-2 .3ي / ك

يمثل مستوى فيرمي حالة الطاقة مع احتمال بنسبة 50٪ للتعبئة في حالة عدم وجود نطاق محظور ، على سبيل المثال ، إذا ه = هF من ثم و (هـ) = 1/2 لأي قيمة لدرجة الحرارة.

يعطي توزيع Fermi-Dirac فقط احتمال إشغال الحالة عند مستوى طاقة معين ولكنه لا يوفر أي معلومات حول عدد الحالات المتاحة عند مستوى الطاقة هذا.

توزيع فيرمي ديراك ومخطط نطاق الطاقة

مؤامرة فيرمي ديراك

و (E) مقابل (E-EF) حبكة

يوضح الرسم أعلاه سلوك مستوى فيرمي في نطاقات درجات حرارة مختلفة T = 00ك ، تي = 3000ك ، تي = 25000إلى. في T = 0 ك ، للمنحنى خصائص تشبه الخطوة.

في T = 00إلى ، يمكن معرفة العدد الإجمالي لمستويات الطاقة التي تحتلها الإلكترونات باستخدام وظيفة Fermi-Dirac.

لمستوى طاقة معين هـ> هـF ، يصبح المصطلح الأسي في دالة Fermi-Dirac 0 وهذا يعني أن احتمال العثور على مستوى الطاقة المشغولة أكبر من يكونF هو صفر.

لمستوى طاقة معين يكونF تعني القيمة التي تعني أن جميع مستويات الطاقة مع الطاقة أقل من مستوى Fermi EFسوف تشغل في T = 00إلى . يشير هذا إلى أن مستوى طاقة فيرمي هو أقصى طاقة يمكن أن يمتلكها الإلكترون عند درجة حرارة الصفر المطلق.

لدرجة حرارة أكبر من درجة الحرارة المطلقة و ه = هF ، ثم مستقلة عن قيمة درجة الحرارة.

لدرجة حرارة أكبر من درجة الحرارة المطلقة و يكونF ، فسيكون الأسي سالبًا. و (هـ) يبدأ من 0.5 ويميل إلى الزيادة باتجاه 1 مع انخفاض E.

لدرجة حرارة أكبر من درجة الحرارة المطلقة و هـ> هـF ، سيكون الأسي موجبًا ويزداد مع E. f (E) يبدأ من 0.5 ويميل إلى الانخفاض نحو الصفر مع زيادة E.

توزيع فيرمي ديراك تقريب بولتزمان

توزيع Maxwell- Boltzmann هو الأكثر استخدامًا تقريب توزيع فيرمي ديراك .

توزيع فيرمي ديراك مُعطى بواسطة

بواسطة باستخدام ماكسويل - تقريب بولتزمان تم تقليل المعادلة أعلاه إلى

عندما يكون الفرق بين طاقة الناقل ومستوى فيرمي كبيرًا مقارنةً به ، يمكن إهمال المصطلح 1 في المقام. لتطبيق توزيع Fermi-Dirac ، يجب أن يتبع الإلكترون مبدأ Pauli الحصري ، وهو أمر مهم في المنشطات العالية. لكن توزيع Maxwell-Boltzmann يتجاهل هذا المبدأ ، وبالتالي يقتصر تقريب Maxwell-Boltzmann على الحالات منخفضة المنشطات.

إحصائيات فيرمي ديراك وبوز آينشتاين

إحصائيات Fermi-Dirac هي فرع من الإحصائيات الكمومية ، والتي تصف توزيع الجسيمات في حالات الطاقة التي تحتوي على جسيمات متطابقة تخضع لمبدأ استبعاد باولي. نظرًا لتطبيق إحصائيات F-D على الجسيمات ذات الدوران نصف الصحيح ، تسمى هذه الفرميونات.

نظام يتكون من الديناميكا الحرارية عند التوازن والجسيمات المتطابقة ، في حالة الجسيم الفردي I ، يتم إعطاء متوسط ​​عدد الفرميونات عن طريق توزيع F-D مثل

أين هي حالة الجسيم المفرد أنا ، يتم الإشارة إلى إجمالي الإمكانات الكيميائية بواسطة ، إلىب هو ثابت بولتزمان بينما تي هي درجة الحرارة المطلقة.

إحصائيات بوز-أينشتاين هي عكس إحصائيات F-D. يتم تطبيق هذا على الجسيمات ذات الدوران الصحيح الكامل أو التي لا تدور ، والتي تسمى البوزونات. هذه الجسيمات لا تخضع لمبدأ استبعاد باولي ، مما يعني أنه يمكن ملء نفس التكوين الكمي بأكثر من بوزون واحد.

يتم تطبيق إحصائيات F-D وإحصائيات Bore-Einstein عندما يكون التأثير الكمي مهمًا ولا يمكن تمييز الجسيمات.

مشكلة توزيع فيرمي ديراك

في مادة صلبة ، ضع في اعتبارك مستوى الطاقة الذي يقع 0.11 فولت تحت مستوى فيرمي. أوجد احتمال عدم احتلال الإلكترون لهذا المستوى؟

مشكلة توزيع فيرمي ديراك

مشكلة توزيع فيرمي ديراك

هذا كل شيء عن توزيع فيرمي ديراك . من المعلومات المذكورة أعلاه أخيرًا ، يمكننا أن نستنتج أنه يمكن حساب الخصائص العيانية للنظام باستخدام وظيفة Fermi-Dirac. يتم استخدامه لمعرفة طاقة فيرمي في كل من حالات درجة الحرارة الصفرية والمحدودة. دعنا نجيب على سؤال بدون أي حسابات ، بناءً على فهمنا لتوزيع Fermi-Dirac. بالنسبة لمستوى الطاقة E ، 0.25e.V أقل من مستوى فيرمي ودرجة الحرارة فوق درجة الحرارة المطلقة ، هل ينخفض ​​منحنى توزيع فيرمي نحو 0 أم يزيد باتجاه 1؟