تلعب الرياضيات دورًا حاسمًا في فهم سلوك وعمل الكهرباء و الأنظمة الإلكترونية . كثيرات الحدود ، والجبر ، والاحتمالية ، والتكاملات ، والتفاضلات ، إلخ ... تشكل جزءًا مهمًا من الأدوات المستخدمة لحل الأنظمة. مع التعقيد المتزايد للأنظمة ، هناك حاجة إلى أساليب معقدة للغاية. تستخدم المعادلات التفاضلية بشكل بارز في تحديد أنظمة التحكم. هذه المعادلات سهلة الحل. لكن التعقيد ينشأ أثناء حل المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى. لحل مثل هذه المعادلات التفاضلية المعقدة ذات الترتيب الأعلى ، فإن الطريقة الرياضية التي أثبتت فعاليتها هي تحويل لابلاس . نظرًا لاستخدام هذا التحويل على نطاق واسع ، فمن المفيد معرفة ما يعنيه حقًا وكيف يعمل.

ما هو تحويل لابلاس؟

في الرياضيات ، يتم تطبيق التحويلات لتحويل متغير من شكل إلى آخر لتسهيل معالجة المعادلة. تحويلات لابلاس تفعل الشيء نفسه. إنهم يحولون المعادلة التفاضلية ذات الرتبة الأعلى إلى صيغة متعددة الحدود أسهل بكثير من حل المعادلة التفاضلية مباشرة.

ولكن هناك تحويلات مختلفة مثل تحويل فورييه ، حيث يحول z ما الذي يجعل تحويل لابلاس مميزًا؟ الميزة الرئيسية لتحويل لابلاس هي أنه يتم تعريفها لكل من الأنظمة المستقرة وغير المستقرة بينما يتم تعريف تحويلات فورييه للأنظمة المستقرة فقط.

صيغة تحويل لابلاس

تحويل لابلاس للدالة f (t) في مجال زمني ، حيث t هو الرقم الحقيقي أكبر من أو يساوي الصفر ، يُعطى كـ F (s) ، حيث يوجد s هو الرقم المركب في مجال التردد. s = σ + j
تعتبر المعادلة أعلاه من جانب واحد معادلة تحويل لابلاس . عندما يتم تمديد الحدود إلى المحور الحقيقي بأكمله ، فإن تحويل لابلاس الثنائي يمكن تعريفها على أنها
في الدوائر العملية مثل دوائر RC و RL عادة ، يتم استخدام الشروط الأولية لذلك ، يتم تطبيق تحويلات لابلاس من جانب واحد لغرض التحليل.
مثل s = σ + jω ، عندما σ = 0 يتصرف لابلاس على أنه تحويل فورييه.

“ماذا تعني المرحلة الواحدة ”

صيغ تحويل لابلاس

شروط تطبيق تحويل لابلاس

تسمى تحويلات لابلاس تحويلات متكاملة لذلك هناك شروط ضرورية لتقارب هذه التحويلات.
على سبيل المثال ، يجب أن تكون f قابلة للتكامل محليًا للفاصل الزمني [0 ،) واعتمادًا على ما إذا كانت موجبة أم سالبة ، قد تتحلل أو تتزايد e ^ (- σt). بالنسبة إلى تحويلات لابلاس الثنائية بدلاً من قيمة واحدة ، يتقارب التكامل مع نطاق معين من القيم يُعرف باسم منطقة التقارب.

خصائص تحويل لابلاس:

الخطية

تغيير الوقت

التحول في المجال S.

عكس الوقت

“كيف تعمل مكونات الدائرة؟ ”

التمايز في المجال S.

الالتواء في الوقت المناسب

نظرية القيمة الأولية

يتم تطبيق نظرية القيمة الأولية عندما تكون درجة البسط في لابلاس أقل من درجة المقام نظرية القيمة النهائية:

إذا كانت جميع أقطاب sF (s) تقع في النصف الأيسر من نظرية القيمة النهائية للمستوى S ، يتم تطبيق نظرية القيمة النهائية لها.

معكوس تحويل لابلاس

نظرًا لخاصية التقارب ، فإن تحويل لابلاس له أيضًا تحويل عكسي. تعرض تحويلات لابلاس تخطيطًا واحدًا لواحد من مساحة وظيفة إلى أخرى. صيغة التحويل العكسي لابلاس هي

كيف تحسب تحويل لابلاس؟

يجعل تحويل لابلاس المعادلات أسهل في التعامل معها. عندما يتم إعطاء معادلة تفاضلية ذات رتبة أعلى ، يتم تطبيق تحويل لابلاس عليها والذي يحول المعادلة إلى معادلة جبرية ، مما يسهل التعامل معها. ثم نحسب الجذور بتبسيط هذه المعادلة الجبرية. الآن تم إيجاد تحويل لابلاس العكسي لتعبير أبسط والذي يحل المعادلة التفاضلية ذات الرتبة الأعلى.

حساب تحويل لابلاس

تطبيقات تحويل لابلاس

تحليل الكهرباء و الدوائر الإلكترونية .
تقسيم المعادلات التفاضلية المعقدة إلى أشكال أبسط كثيرة الحدود.
يوفر تحويل لابلاس معلومات حول الحالات الثابتة والعابرة.
في التعلم الآلي ، يتم استخدام تحويل لابلاس لعمل تنبؤات وإجراء تحليل في التنقيب عن البيانات.
يبسط تحويل لابلاس الحسابات في نمذجة النظام.

تطبيق تحويل لابلاس في معالجة الإشارات

كثيرًا ما يتم اختيار تحويلات لابلاس لمعالجة الإشارات. جنبا إلى جنب مع تحويل فورييه ، فإن تحويل لابلاس يستخدم لدراسة الإشارات في مجال التردد. عندما تكون هناك ترددات صغيرة في الإشارة في مجال التردد ، يمكن للمرء أن يتوقع أن تكون الإشارة سلسة في المجال الزمني. عادة ما يتم ترشيح الإشارة في مجال التردد الذي يعمل لابلاس من أجله كأداة مهمة لتحويل إشارة من مجال زمني إلى مجال تردد.

تطبيق تحويل لابلاس في أنظمة التحكم

عادة ما يتم تصميم أنظمة التحكم للتحكم في سلوك الأجهزة الأخرى. مثال على أنظمة التحكم يمكن أن تتراوح من وحدة تحكم تدفئة منزلية بسيطة إلى نظام تحكم صناعي ينظم سلوك الآلات.

بشكل عام ، يستخدم مهندسو التحكم المعادلات التفاضلية لوصف سلوك مختلف الكتل الوظيفية ذات الحلقة المغلقة. يتم استخدام تحويل لابلاس هنا لحل هذه المعادلات دون فقدان المعلومات المتغيرة الحاسمة.

توصيف النظم الخطية غير المتغيرة باستخدام تحويل لابلاس

بالنسبة لنظام ROC غير الرسمي المرتبط بالنظام ، تكون الوظيفة هي نصف المستوى الأيمن. يكون النظام مضادًا للعرضية إذا كانت الاستجابة النبضية h (t) = 0 لـ t> 0.

إذا كانت ROC لوظائف النظام H (s) تتضمن المحور j ، فإن L.T.I. يسمى النظام بالنظام المستقر. إذا كان النظام غير الرسمي بوظائف النظام العقلاني H (s) يحتوي على أجزاء حقيقية سالبة لجميع أقطابه ، فإن النظام يكون مستقرًا.

وبالتالي فإن تحويل لابلاس هو أداة حاسمة في تحليل الدوائر. يمكننا أن نقول أن سماعة الطبيب هي لتحولات الطبيب لابلاس للتحكم في المهندس. ما رأيك في تحويل لابلاس؟ بأي طريقة كانت مفيدة لك؟